Kansrekening in Vogelvlucht

Uitwiskeling 41/4 – 12 november 2025 – Els Vanlommel

Ik geef nu 30 jaar les en heel eerlijk: mijn lessen rond kansrekening en statistiek schuren toch nog altijd een klein beetje. Ik denk dat mijn leerlingen er niets van merken, maar ikzelf voel me minder thuis in dat topic en ik ben er nog steeds wat onzeker over. Ik was dus blij dat ik tijdens de vakantie de tijd vond om het laatste boek van Henk Tijms te lezen en ik hoopte vooraf dat het boek me meer intuïtie voor de theoretische concepten zou kunnen verschaffen.

In zijn voorwoord noemt Tijms het boek een inleiding tot de kansrekening en een sterk uitgebreide versie van zijn Zebraboekje ‘Kansrekening in Werking - een moderne aanpak’, dat we bespraken in Uitwiskeling 35/4. Het doelpubliek van het boek bestaat uit studenten van studierichtingen als ingenieurs-, data- en natuurwetenschappen, maar ook wiskundeleraren en iedereen die wil weten wat kansrekening is en hoe het wordt gebruikt. 

Ik heb het boek deels gelezen in de schaduw van een plataan aan een vakantiehuis in de Provence, maar vergis u niet: het is een studieboek. Ik had dan ook steeds pen en papier in de aanslag daar onder die boom. Het boek is toegankelijk geschreven, dat wel, maar het is een echt studieboek. Tijms legt de theoretische concepten helder en duidelijk uit, met een logische opbouw en structuur. Wat het boek onderscheidt van andere studieboeken is dat de theorie (definities, concepten, formules, bewijzen) bevattelijk wordt gemaakt met veel goed uitgewerkte en intrigerende voorbeelden en toepassingen. Telkens worden ook relevante opgaven toegevoegd die de lezer zelf kan proberen op te lossen (de numerieke antwoorden zijn toegevoegd). Ik heb heel wat vragen aangeduid die ik kan gebruiken voor toetsen of examens bij mijn sterk wiskundige zesdes.

Het boek bestaat uit vijf hoofdstukken. Hoofdstuk 1 gaat over combinatoriek en andere wiskundeconcepten nodig voor kansrekening. In hoofdstuk 2 komen de basisbeginselen van kansrekening aan bod met o.a. voorwaardelijke kansen, kansbomen, Bayesiaanse statistiek (met o.a. Bayesiaans denken in rechtszaken), stochastische variabelen, verwachtingswaarde en standaardafwijking, de √n-wet, correlatie en regressie, beslissingsbomen, Markovketens (om kansproblemen mee te modelleren en op te lossen) en genererende functies. Hoofdstuk 3 behandelt de belangrijkste kansverdelingen zoals de binomiale en hypergeometrische verdelingen, de Poisson verdeling, de normale verdeling (met ook de centrale limietstelling), de continue uniforme verdeling en de exponentiële verdeling. Verder komen in dit hoofdstuk ook het Poisson proces (dat de discrete Poissonverdeling en de continue exponentiële verdeling koppelt), de chi-kwadraat toets en de bivariate normale verdeling aan bod. Hoofdstuk 4 gaat over kansrekening in het dagelijks leven met o.a. de wet van Benford, krediet in een casino, drugstesten in de National Football League, Lotto nonsens en beleggingsstrategieën op aandelenmarkten. Heel boeiend vond ik hoofdstuk 5 dat de nadruk legt op de wiskunde achter Monte Carlo simulaties. Die simulaties zijn niet alleen handig om een uitkomst van een kansvraagstuk te controleren of te bepalen als we ze moeilijk anders kunnen vinden, ze zijn ook een buitengewoon goed hulpmiddel om een beter gevoel te krijgen voor basiswetten uit de kansrekening. Voor mij als leraar werd hier net genoeg theoretische achtergrond gegeven om de essentie te vatten.

Leerlingen vragen regelmatig hoe random getallen kunnen worden gegenereerd op een computer. Dat wordt uitgelegd bij het stukje over het gereedschap nodig voor simulaties. Vroeger werden soms heel creatieve en echt willekeurige methoden gebruikt om random getallen te genereren. Rond 1920 gebruikten misdaadsyndicaten in New York bijvoorbeeld de laatste vijf cijfers van de dagelijks gepubliceerde Amerikaanse schatkistbalans om de winnende getallen te genereren voor een illegale loterij. Het gooien van een dobbelsteen is een andere methode om echt willekeurige gehele getallen tussen 1 en 6 te genereren. Je zou ook radioactief verval kunnen timen om op basis daarvan random getallen te genereren. Bij simpele simulatie-experimenten op de computer loopt het aantal benodigde toevalsgetallen echter al snel op tot meer dan enkele honderdduizenden. Het produceren van zulke grote aantallen toevalsgetallen is moeilijker dan het lijkt. De beroemde Hongaars-Amerikaanse wiskundige John von Neumann (een van de pioniers uit speltheorie, besproken in de loep in Uitwiskeling 41/3) heeft een effectieve oplossing voor dit probleem bedacht die bestaat uit het genereren van pseudo toevalsgetallen i.p.v. ‘echte’ toevalsgetallen. Startend met een ‘seed’ getal z₀ worden getallen z₁, z₂ . . . iteratief gegenereerd als volgt: z₁ = f(z₀), z₂ = f(z₁), . . . , z_n = f(z_n−1), . . . Bij elke andere keuze van z₀ (die dan bijvoorbeeld met een ‘echte’ random methode wordt bepaald) krijg je een andere rij pseudo randomgetallen z_n. De functie f moet hierbij zo gekozen worden dat die rij van getallen statistisch niet te onderscheiden is van een rij werkelijke toevalsgetallen. Een van de meest gebruikte zo’n pseudo toevalsgenerator f die vele ‘randomness’ testen heeft doorstaan, is de Mersenne twister die in 1997 ontwikkeld is. Hoe deze functie er juist uitziet, wordt in het boek niet uitgelegd (wellicht omdat dat te ver leidt). Wel wordt een vroegere veelgebruikte generator vermeld: z_n = a × z_n−1 (modulo m) met toevalsgetal u_n = z_n/m met a = 16 807 en m = 2³¹ − 1 (een Mersenne priem). Om bijvoorbeeld een willekeurig getal tussen twee getallen a en b met a < b te genereren, laten we de toevalsgenerator f eerst een toevalsgetal u ∈ ]0,1[ genereren. Een random getal in ]a, b[ is dan x = a + (b − a)u. Je kunt gemakkelijk nagaan dat 0 < u < 1 impliceert dat a < x < b. In het boek worden enkele Monte Carlo simulaties besproken waarbij zulke random gegenereerde getallen worden gebruikt. Een voorbeeld is de simulatie van het bijna-verjaardagsprobleem waarbij de kans gezocht wordt dat binnen een groep van m personen er twee of meer binnen een dag van elkaar jarig zijn. Deze kans is moeilijk algebraïsch te berekenen, maar de simulatie is eenvoudig. Niet alleen wordt die simulatie in het boek uitgelegd, ook de python code die je hiervoor kunt gebruiken, wordt in een appendix toegevoegd. Om een indicatie te krijgen van de nauwkeurigheid van de gevonden kans, worden betrouwbaarheidsintervallen geïntroduceerd.

Dit boek biedt een goede balans tussen de strikt wiskundige aanpak van waarschijnlijkheidstheorie en een praktische, meer bevattelijke benadering die inzicht bevordert en de relevantie toont van de theorie. Waar ik vooraf op hoopte, namelijk meer intuïtie krijgen bij de basiswetten en concepten uit de kansrekening, is door die balans wonderwel gelukt. Ik heb veel nieuwe dingen geleerd, zoals het Poisson proces en de verschillende Monte Carlo simulaties. Dat is niet direct leerstof die ik in de klas moet geven, maar ik vind het geruststellend om veel meer te weten van een topic dan alleen dat wat in de les aan bod komt. Het maakt de lessen bovendien interessanter omdat die bredere kennisbasis de gelegenheid geeft om af en toe uit te weiden bij de verplichte leerstofonderdelen. Voor wie net als ik op zoek is naar meer intuïtie bij de leerstof, meer verdieping en achtergrond en naar relevante voorbeelden en contexten is dit boek een aanrader.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Henk Tijms, emeritus hoogleraar toegepaste wiskunde aan de Vrije Universiteit, schreef eerder ’Kansrekening in Werking’ voor vwo-scholieren. Dit boek is een sterk uitgebreide versie die bedoeld is voor studenten van uiteenlopende studierichtingen in het hoger onderwijs. De wiskundige aanpak is gedegen, met definities van begrippen en uitleg over processen. De vele voorbeelden van kansprocessen in kansspelen, sport en rechtszaken zijn zeer verhelderend. De basisprincipes die eeuwen geleden zijn gelegd door Cardano en Huygens komen aan bod, zo ook nieuwere ontwikkelingen zoals Bayesiaanse statistiek, Markovketens en Monte Carlo simulaties. Er zijn veel opgaven die als basis voor een werkstuk kunnen dienen. Al met al een helder boek met heel veel informatie in weinig pagina’s.